Tangente à une courbe

Soit \(f\)  la fonction définie sur l’intervalle \([0~;~10]\) par :  \(f(x)= 60x \text e^{- 0,5x}\) . La fonction dérivée de la fonction \(f\)  est notée \(f'\) .

1. Démontrer que, pour tout réel \(x\) , \(f'(x) = - 30(x - 2)\text e^{-0,5x}\) .

2. Déterminer le signe de \(f'(x)\)  sur l’intervalle \([0~;~10]\) .

3. Établir le tableau de variations de la fonction \(f\)  sur l’intervalle \([0~;~10]\) . Indiquer dans ce tableau les valeurs exactes des extremums.

4. Quelles sont les coordonnées du point en lequel la tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\)  est parallèle à l’axe des abscisses ?

5. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\)  au point d’abscisse \(0\) .